数学杂谈

因为没什么好写的,所以这篇博客有点水。

一.调和级数

调和级数即:

S(n)=i=1n1iS(n)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}

这个数列是发散的,证明不再赘述。

欧拉给出了一个公式:

S(n)=lnn+γ+εnS(n)=\ln n+\gamma+\varepsilon_n

其中 γ\gamma 为欧拉常数,约为 0.57721566490.5772156649εn\varepsilon_n 为余项,约为 12n\frac{1}{2n}

然后大范围的调和级数可以用公式算,小范围的不够精确最好暴力算。

最后给两道简单的例题(都是数学期望水题):

1.SP1026 FAVDICE - Favorite Dice

2.P5147 随机数生成器


二.无穷项极限

s1=11+11...=i=1(1)i+1s_1=1-1+1-1...=\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1}

s2=12+34...=i=1(1)i+1is_2=1-2+3-4...=\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i+1} i

s3=1+2+3+4...=i=1is_3= 1+2+3+4...=\sum_{i=1}^{\infty} i

s1,s2,s3s_1,s_2,s_3

part 1. s1s_1

1s1=1(11+11...)=11+11...=s11-s_1=1-(1-1+1-1...)=1-1+1-1...=s_1

s1=12s_1=\frac{1}{2}

part 2. s2s_2

s2s_2 写两遍错位对齐

s2=12+34+5...s_2=1-2+3-4+5...

s2=       12+34...s_2=~~~~~~~1-2+3-4...

两式相加得:

2×s2=11+11+1...=s12 \times s_2=1-1+1-1+1...=s_1

s2=14s_2=\frac{1}{4}

part 3. s3s_3

s3s2=(1+2+3+4...)(12+34...)=0+4+0+8+...=4(1+2+3...)=4s3s_3-s_2=(1+2+3+4...)-(1-2+3-4...)=0+4+0+8+...=4(1+2+3...)=4s_3

3s3=s23s_3=-s_2

s3=112s_3=-\frac{1}{12}

???

其实我也不是很理解